這大半年,，蘭恩徹底忍住自己,，不去看那些前沿期刊的做法,，還是很有效的,。

　　題海戰(zhàn)術備戰(zhàn)升學之余，他也在不停地補課,。

　　蘭恩的做法是,，忍住不去接觸前沿的東西，轉而從一個點入手,，抽絲剝繭,，理一遍之前的脈絡樹。

　　勤奮和努力沒有白費,。

　　對于這篇《論數(shù)字計算在決斷難題中的應用》,，蘭恩已經(jīng)大致理解了它的思路,，它的前因后果。代價是,，他花在各種資料和文獻上的時間,，大大超出了他用在做題上的時間。

　　合上最后一本書,，蘭恩慢慢整理自己的思路,。

　　“圖靈機的原理只是附屬，這篇論文最中心的思想還是解決可計算性問題,?！?p>　　“而他對于可計算性的思索，本質上還是第三次數(shù)學危機的延伸,?！?p>　　說到數(shù)學危機。

　　第一次數(shù)學危機,，是產(chǎn)生于遠古時代,，那個魔法依然是神秘的魔法，奧術還遠遠不成系統(tǒng),，與魔法完全不分家的時代,。

　　由于幾何在當年的魔法陣和施法上的巨大作用，數(shù)學的意義首次被提高了,。

　　有的魔法師學者們開始認為“萬物皆數(shù)”,，即：數(shù)學的知識是可靠的、準確的,，而且可以應用于現(xiàn)實的世界,，數(shù)學的知識由于純粹的思維而獲得，不需要觀察,、直覺和日常經(jīng)驗。

　　直到他們遇到了正五邊形的問題,。

　　在當時那個神秘學當?shù)赖臅r代,，正三角形、五角星,、六芒星,、八角星是最常用的基礎架構圖形。直到有一個法師,，發(fā)現(xiàn)五角星連成正五邊形后,，邊與對角線的比無法用有理數(shù)表示。

　　然后他被束縛后,，扔下了法師塔,。

　　這次也被后世稱作“無理數(shù)危機”,。

　　當然，由于無理數(shù)的定義,，這次危機在歷經(jīng)滄桑后最終解決,。

　　由此帶來的后果是積極的，法師們察覺,，直覺和經(jīng)驗不一定靠得住,，推理證明才是最可靠的，從此法師們開始重視演譯推理,，并由此建立了幾何公理體系,。

　　這是巨大的進步和奠基作用，也深深地影響了以后奧術的出現(xiàn),。

　　第二次數(shù)學危機,，則是在偉大的光榮時代，由大奧術師艾薩克和大奧術師萊布尼茲共同引發(fā)的,。

　　想到萊布尼茲,，蘭恩又想到了萊布尼茲大奧術師的生平。

　　由于對艾倫·麥席森論文中,，特意提到的萊布尼茲手稿感興趣,，蘭恩特地去查了一點資料。

　　出生于目前神圣同盟的勢力范圍內,，一個魔法世家的他,，卻深深地相信一切都可以用理性分析。然后他盯上了數(shù)學這項在法師間廣為使用的基礎工具,，根據(jù)記載,，他和艾薩克幾乎同時，各自獨立的發(fā)明了微積分,。然后,，他們的工作，建立的體系,，深深地影響了后世至今,。而且，他還涉獵廣泛,，在許多不同的領域都有傲人的成就,。

　　他有一個傳播很廣但是上不了臺面的觀點：“我們的世界，或許不是創(chuàng)世神創(chuàng)造的最好的一個,，但肯定屬于最有意思的一批,。”

　　對于這一點,，蘭恩比較以為然,。

　　跑題了,。

　　蘭恩拉回思緒。

　　艾薩克和萊布尼茲引發(fā)的這項危機,，正是由于他們的微積分,。

　　在微積分大范圍應用的同時，關于微積分基礎的問題也越來越嚴重,。關鍵問題就是無窮小量究競是不是零,？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了法師和奧術師們長達一百多年的爭論,。這就是第二次數(shù)學危機,，又名“無窮小危機”。

　　后來,，是柯西和魏爾斯特拉斯等一批奧術師,，通過對數(shù)學分析一系列基本概念的精確定義，以及對分析的算術化,，逐步解決了這次危機,，恢復了數(shù)學的結構。

　　這次危機的意義,，一是加速了分析數(shù)學的發(fā)展,，使其成為了龐大的體系；二是徹底解下了微積分甚至數(shù)學上面神秘的面紗,，沖破了魔法的束縛,，為數(shù)學的獨立發(fā)展創(chuàng)造了條件，也讓普通人有機會成為奧術師,。比如蘭恩所在的小學,，頗有一些頭腦超人，但是資質一般或家境一般的同學,，在小學畢業(yè)后直接去奧術學院就讀,。

　　第三次數(shù)學危機，也就是目前魔法界和奧術界正在經(jīng)歷的這次,，卻是由于集合論的悖論產(chǎn)生的,。

　　它像第一次危機那樣，突然出現(xiàn),。

　　在一個位于奧法聯(lián)邦，名叫伯特蘭·阿瑟的奧術師研究集合的時候,，忽然發(fā)現(xiàn)了悖論,。

　　關于這個悖論的闡述，最著名的是“理發(fā)師問題”,。

　　一個理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉,，并且,，只給村里這樣的人刮臉。當人們試圖回答下列疑問時,，就認識到了這種情況的悖論性質：“理發(fā)師是否自己給自己刮臉,？“如果他不給自己刮臉，那么他按原則就該為自己刮臉,；如果他給自己刮臉,，那么他就不符合他的原則。

　　這就是這次危機的核心問題,。

　　危機爆發(fā)時,，距離大奧術師龐加萊的宣稱“數(shù)學的嚴格性，看來直到今天才可以說實現(xiàn)了”才剛剛過去兩年,，屬于赤裸裸的打臉,。

　　直到如今，危機仍然在蔓延,。

　　例如這篇論文,，就是艾倫·麥席森奧術師在思考‘停機問題’——它和導致這次危機的悖論一樣，屬于自指——時,，尋找這次數(shù)學危機解決方案的產(chǎn)物,。

　　艾倫的天才之處在于，他的思考高屋建瓴,。他首先考慮的是,，是否所有數(shù)學問題都用解？如果這個問題不解決,，辛辛苦苦解題,，最后發(fā)現(xiàn)無解，一切的努力都是浪費時間和精力,。

　　至于論文末尾提出的理想計算機器,，則是這些思考的副產(chǎn)物。

　　“這樣,，經(jīng)過通讀所有這些相關的書籍,，我就大致理清了這個世界上，往昔數(shù)學發(fā)展的脈絡,。至少是這篇論文所在的分支,，雖然理解的仍太過粗淺?！碧m恩揉著太陽穴想到

　　“如果文學構建了美學的大廈,，那么構建理性大廈的，一定是數(shù)學?！?p>　　“要實現(xiàn)自己‘想看到更遠一些的美妙風景’的愿望,，成為大奧術師是必不可少的，而這個過程,，就是自己攀登理性大廈的過程,。”

　　放下揉太陽穴的手,，蘭恩將面前已經(jīng)合上的書籍收了起來,，移到一邊。

　　他準備例行更換手頭的事情,，換換腦子,。

　　學習和思考之余，蘭恩經(jīng)常會研究一些看起來更實用更有意思的事兒,。而對這篇論文學習的告一段落,，意味著他有了更多的時間鼓搗這些。

　　研究方式,，主要是實驗,。

　　實驗內容，他選擇的是一些可以動手操作,，還能有拓展思考的東西,，譬如他很感興趣的魔法符文。

　　尤其是……中繼器,。